TEORI BILANGAN

Tinggalkan komentar

TEORI BILANGAN

3.1. Keterbagian

Kita telah mengetahui bahwa 13 dibagi 5 hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis sebagai :

\frac{13}{5} = 2 + \frac {3}{5}  atau 13 = 2 x 5 + 3

Secara umum, apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga :

a = qb + r ,   0 < r < b

dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian “a dibagi dengan b”. Jika r = 0 maka dikatakan a habis dibagi b dan ditulis b|a. Untuk a tidak habis dibagi b ditulis b ditulis b ł a.

Sifat-sifat keterbagian :

  1. a|b dan b|c maka a|c
  2. ab|c maka a|c dan b|c
  3. a|b dan a|c maka a|(bx + cy) untuk sembarang bilangan bulat x dan y.

Di sini akan dibuktikan sifat (1). Pembuktian sifat (2) dan (3) diserahkan kepada pembaca.

Bukti sisfat (1)

a|b maka b = ka

b|c maka c = lb = l (kl)a maka a|c.

Di bawah ini adalah kaidah-kaidah menentukan keterbagian suatu bilangan yang cukup besar.

  1. Keterbagian oleh 2″

    Suatu bilangan habis dibagi 2n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2n.

    A1. Untuk n = 1 berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.

    A2. Untuk n = 2 berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4

    A3. Untuk n = 3 berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.

    Yang akan dibuktikan di sini adalah kaidah A1. Pembuktian kaidah A2 dan A3 diserahkan kepada pembaca.

Bukti kaidah A1

Misalkan bilangan itu :

a = …a3 a2 a1 a0

= 10(a3 a2 a1) + a0

Karena 10 (….a3 a2 a1) habis dibagi 2 maka agar a habis dibagi 2 maka haruslah a0 habis dibagi 2.

Contoh soal 1

Tentukan apakah 173332 habis dibagi oleh :

a). 2 b). 4 c). 8

pembuktian :

a). Karena 2|2 maka 2|173332

b). Karena 4|32 maka 4|173332

c). Karena 8 ł 332 maka 8 ł 173332

  1. Keterbagian 3, 9, dan 11

    Misalkan bilangan yang akan dibagi adalah a = an an-1 an-2 … a1 a0.

    B1. Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya (an + an-1 + … + a1 + a0) habis dibagi 3

    B2. Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-nagkanya (an + an-1 + … + a1 + a0) habis dibagi 9

    B3. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya (an – an-1 + an-2 + … ) habis dibagi 11

    Yang akan dibuktikan di sini adalah kaidah B1. Pembuktian kaidah B2 dan B3 diserahkan kepada pembaca.

Bukti kaidah B1.

a = an an-1 … a1 a0

= an X 10n + an-1 X 10n-1 + … + a1 X 10 + a0 X 100

= an X (9 + 1)n + an-1 X (9 + 1)n-1 + … + a1 X (9 + 1) + a0

= an[9n + n . 9n-1 + … + 9n] + an + an-1 [9n-1 + (n-1)9n-2 + … + 9(n-1)] + an-1 + … + 9a1 + a1 + a0

Dapat dipilih menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah jumlah semua suku yang merupakan kelipatan 9 yang dilambangkan sebagai K(a) dan bagian kedua adalah jumlah angka-angka :

Q(a) = an + an-1 + …
+ a1 + a0

Maka :    a = K(a) + Q(a)

Karena 3 | K(a) maka agar 3|a haruslah 3 | Q(a)

 

Contoh soal 2

Tentukan apakah 1815 habis dibagi :

a). 3 b). 9 c). 11

penyelesaian :

jumlah angka-angka 1815 = 1 + 8 + 1 + 5 = 15

a). Karena 3|15 maka 3|1815

b). Karena 9 ł 15 maka 9 ł 1815

c). Jumlah-silang tanda-ganti angka-angka bilangan 1815 = 1 – 8 + 1 – 5 = -11

Karena 11|-11 maka 11|1915

 

Contoh soal 3

Bilangan berangka enam berikut a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b

Penyelesaian :

72 = 8 x 9. Karena itu 8|a1989b b = 6

Juga 9|a + 1 + 9 + 8 + 9 + b = a = 33 a = 3

 

 

  1. BILANGAN KHUSUS

    Di pasal ini, kita akan membahas beberapa bilangan khusus yakni bilangan prima, bilangan komposist dan bilangan kuadrat.

  1. Bilangan Prima dan Komposit

    Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu. Dengan perkataan lain, bilangan prima hanya mempunyai dua faktor. Misalnya 2, 3, 5, 7, 11, … bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit (majemuk). Misal 4, 6, 8, 9, …

Teorema : (Topik Erotosthenes)

Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p|n dan p .

Teorema di atas mempunyai makna yang sama dengan “jika tidak ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan p maka n adalah bilagan prima”.

Contoh soal 4

Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk.

a). 157 b). 221

penyelesaian :

a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada dari bilangan-bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11 yang dapat dibagi 157, maka 157 merupakan bilangan prima.

b). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 13|221 maka 221 merupakan bilangan komposit.

Contoh soal 5

Tentukan pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga a2 – b2 = 1991.

Penyelesaian :

Karena 1991 merupakan bilangan komposit (1991 = 11 X 181) maka :

A2 – b2 = 1991

(a – b)(a + b) = 1991 (1 X 1991 atau 11 X 181) atau (a – b)(a + b) = 11 X 181

Kemungkinan I    Kemungkinan II

a + b    = 1991     a + b    = 181

a  –  b    = 1 +         a  – b    = 11 +

2a    = 1992           2a    = 192

a    = 996     a    = 96

b    = 995     b    = 85

Jadi pasangan-pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi a2 – b2 = 1991 adalah (996, 995) dan (96, 85)

  1. Bilangan kuadrat

    Ada tiga hal penting yang perlu duketahui tentang bilangan kuadrat, yaitu :

    1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, dan 9
    2. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1
    3. Jika p bilangan prima dan p|n2 maka p2|n2

Contoh soal 6

Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna yang angka-angkanya berturut-turut adalah :

k, k + 1, k + 2, 3k, k + 3

penyelesaian :

  • Angka pertama adalah k maka k yang mungkin adalah 1, 2, 3, … , 9 ………………………    (1)
  • Angka ketiga adalah 3k maka k yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3 ……………………………..    (2)

    Dari (1) dan (2), maka k yang mungkin terjadi 1, 2, 3.

  • Bilangan kuadrat yang mungkin adalah 12334, 233465, 34596.
  • Selanjutnya 12334 dibagi 4 bersisa 2 berarti 12334 bukan bilangan kuadrat.
  • 5 karena 4693 tidak lagi dapat dibagi 5 maka 23465 bukan bilangan kuadrat.

     

    2    34596 bilangan 334596 = 22 . 32 . 312, berarti 34596 merupakan bilangan kuadrat.

    2    17298

    3     8649

    3     2883

    31     961

    31     31

    1

Jadi bilangan kuadrat yang dicari adalah 34596.

 

  1. GCD DAN ALGORITMA EUCLID

    Jika a dan b sembarang bilangan bulat dan d bilangan bulat yang memenuhi sifat d|a dan d|b, maka d disebut pembagi persekutuan dari a dan b. Nilai terbesar dari d disebut pembagi persekutuan terbesar Greater Common Divisor (GCD) dan ditulis dengan GCD (a, b)

    Misal : GCD (8, 12) = 4

    Pembagi persekutuan terbesar dapat juga ditentukan dengan menggunakan Algoritma Euclede.

Teorema (Algoritma Euclede)

Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a > b > 0, maka GCD (a, b) bisa dicari dengan mengulang algoritma pembagian.

a = q1b + r1 0 < r1 < b

b = q2 r1 + r2 0 < r2 < r1

r1 = q3 r2 + r3 0 < r3 < r2

 

rn-2 = qn rn-1 + rn 0 < rn-1 < rn-2

rn-1 = qn+1 rn + 0

maka rn , sisa terakhir dari pembagian di atas yang bukan nol merupakan GCD (a, b).

 

Contoh Soal 7

Tentukan GCD (4840, 1512)

Penyelesaian :

4840 = 3 X 1512 + 304

1512 = 4 X 304 + 296

304 = 1 X 296 + 8

296 = 37 X 8 + 0

Jadi : GCD (4840, 1512) = 8

Jika GCD (a, b) = c maka ada bilangan bulat m dan n sehingga am + bn = c. Mencari m dan n digunakan AlgoritmaEuclede.

Seperti pada contoh soal 7 di dapat bahwa GCD (4840, 1512) = 8, maka ada bilangan bulat m dan n segingga 4840m + 1512n = 8. Mencari m dan n dimulai dari baris kedua dari bawah pada Algoritma EucledeI.

8    = 304 – 296

= 304 – (1512 – 4 X 304) = -1512 + 5 X 304

= -1512 + 5 (4840 – 3 X 1512)

8    = 5 X 4840 – 16 X 1512 maka m = 5 dan n = -16

Jika GCD (a, b) = 1 maka a dan b dikatakan saling prima.

 

Contoh soal 8

Buktikan bahwa jika GCD (a, b) = 1 dan a|bc, maka a|c

Bukti :

Karena GCD (a, b) = 1, maka terdapat bilangan-bilangan m dan n sehingga 1 = ma + nb.

Diketahui a|bc, berarti terdapat bilangan bulat k sehingga bc = ak.

Dengan menggandakan persamaan 1 = ma + nb dengan c didapat :

c = mac + nbc

c = mac + nak

c = a(mc + nk) Û a|c

 

Contoh soal 9

Jika GCD (a, m) = GCD (b, m) = 1, maka buktikan bahwa GCD (ab, m) = 1.

Bukti :

1    = ax0 + my0

= bx1 + my1

Sehingga : (ax0 + bx1) = (1 – my0)(1 – my1)

= 1 – my1 – my0 + m2y0y1

= 1 – m (y1 + y0 – my0y1)

Tulis :    y1 + y0 – my0y1 = y2 , maka :

ab (x0x1) + m(y2) = 1 maka GCD (ab, m) = 1

 

  1. KONGRUEN

    Diberikan bilangan bulat n yang lebih besar dari 1 dan bilangan-bilangan bulat a dan b. Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n, dituliskan dengan a º b (mod n) jika a dan b memberikan sisa yang sama apabila dibagi oleh n.

Contoh soal 10

Jika a dan b kongruen modulo m, buktikan bahwa selisishnya dapat dibagi m.

Bukti :

a º b (mod m) Þ a = q1m + r dan b = q2m + r

a – b = (q1 – q2)m, akibatnya m | (a – b)

 

Contoh soal 11

Buktikan bahwa (an + b)m = bm mod (n)

Bukti :

Membuktikan (an + b)m
º bm mod (n) sama artinya dengan membuktikan ada bilangan bulat k sehingga (an + b)m – bm = kn.

Bukti :

(an + b)m – bm = (an)m + m(an)m-1. b + … + m(an)bm-1 + bm – bm

= {a(an)m-1 + am(an)m-2 + … + am(b)m-1}n

= kn (terbukti )

Rumusan pada contoh nomor 11 di atas dapat digunakan menentukan sisa pembagian bilangan yang cukup benar.

 

Contoh soal 12

Tentukan angka satuan bilangan 19971991.

Penyelesaian :

Angka satuan 19971991 º sia pembagian 19971991 oleh 10

º (199 X 10 + 7)1991 mod (10)

º 71991 mod (10)

º 74 X 497 + 3 mod (10)

º (74)487 X 73 mod (10)

º (2421)497 X 343 mod (10)

º 1 X 3 mod (10)

º 3 mod (10)

Jadi angka satuan 19971991 adalah 3.

 

Contoh soal 13

Tentukan sisa jika 319 dibagi oleh 14.

Penyelesaian :

319 mod (14)    º 33 X 6 + 1 mod (14)

º (33)6 X 31
mod (14)

º (2 X 14 – 1)6 X 3 mod (14)

º (-1)6 X 3 mod (14)

319 º 3 mod (14)

Jadi sisa pembagian 319 oleh 14 adalah 3.

Contoh soal 14

Tentukan sisa 31990 jika dibagi 41.

Penyelesaian :

31990 m od (41)    º 34 X 497 + 2 mod (41)

º (34)497 X 32 mod (41)

º (2 X 41 – 1)497 X 9 mod (41)

º (-1)497 X 9 mod (41)

º -9 mod (41)

º (41 – 9) mod (41)

º 31 mod (41)

Jadi sisa 31990 dinagi oleh 41 adalah 32.

  1. PERSAMAAN DIOPHANTINE

    Suatu persamaan berbentuk ax + by = c dengan a, b, c bilangan-bilangan bulat dan a, b dua-duanya bukan nol disebut persamaan liner diophantine jika penyelesaiannya dicari untuk bilangan-bilangan bulat.

Teorema :

Persamaan liner diophantine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbatas dari a dan b membagi c.

Bukti :

Misalkan d = GCD (a, b) dan d|c

d|c Û ada k bulat sehingga c = kd.

d|GCD (a, b) Û ada bilangan bulat m dan n sehingga am + bn = d.

a(km) + b (kn) = kd

a(km) + b (kn) = c

berarti x = mk dan y = nk

Teorema :

Jika d = GCD (a, b) dan x0 , y0 penyelesaian persamaan diophantine ax + by = c, maka penyelesaian umum persamaan tersebut adalah :

x = x0 + dan y = y0 – dengan k parameter bilangan bulat.

 

Contoh soal 15

Tentukan penyelesaian umum persamaan diophantine 738x + 621y = 45

Penyelesaian :
Mencari GCD (738, 621) dengan Algoritma Euclide.

738 = 1 X 621 + 117

621 = 5 X 117 = 36

117 = 3 X 36 + 9

36 = 4 X 9 + 0

Jadi GCD (738, 621). Karena 9|45 maka persamaan di atas mempunyai penyelesaian.

Menentukan 9 sebagai kombinasi 738 dan 621.

9    = 117 – 3 . 36

= 117 – 3 (621 – 5 X 117) = -3 X 621 + 16 X 117

= -3 X 621 + 16 (738 – 621)

9    = 16 X 738 – 19 X 621

Kalikan kedua ruas dengan 5

45 = 80 X 738 – 45 X 621

Sehingga didapat x0 = 80, y0 = -95

Penyelesaian umumnya adalah :

x = 80 +

x = -95 –

Contoh soal 16

Tentukan x dan y bulat positif yang memenuhi persamaan 7x + 5y = 100

Penyelesaian :

GCD (7, 5) = 1. Karena 1|100 maka persamaan mempunyai penyelesaian.

Dengan mudah bisa ditulis.

1 = 3 . 7 – 4 . 5

100 = 7 X 300 + 5 X (-400). Maka x0 = 300, y0 = -400

Penyelesaian umumnya adalah :
x = 300 + 5k

Y = -400 – 7k

Karena yang diinginkan penyelesaian positif, maka harus dipenuhi kedua pertidaksamaan :

300 + 5k > 0

-400 – 7k > 0

Yaitu : 60 < k < -57

Jadi persamaan diophantine 7x + 5y = 100 mempunyai tepat dua penyelesaian positif yaitu untuk k = -59, dan k = -58 maka x = 5, y = 13 dan untuk k -58 maka x = 10, y = 6.

SOAL LATIHAN BAB III

  1. Tentukan bilangan empat digit abcd yang memenuhi 4 X (abcd) = dcba

    Penyelesaian :
    4 X (abcd) = dcba (empat digit), maka nilai a yang mungkin adalah 1 atau 2

    4 X (abcd) = … a (beersatuan genap) maka a tidak mungkin 1. Jadi haruslah a = 2. Agar a = 2 maka haruslah d = 8.

     

    3

    2bc8

    4 x

    8cb2

4 X b < 10 maka b yang mungkin 0, 1, 2

4 X c + 3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2. Jadi haruslah b = 1

Karena b = 1 maka haruslah c = 7.

Dengan demikian bilangan yang dimaksud adalah 2178.

  1. Jika ditulis dalam bilangan basis 10, tentukan banyaknya angka bilangan 416 X 525.

    Penyelesaian :

    416 X 525 = 232 X 525

    = 27 X 225 x 525

    = 128 X (2 X 5)25

    = 128 X 1025

    = 1,28 X 1027

    Banyaknya angka dari 416 X 525 = 28 angka.

  2. Tentukan banyaknya angka nol terakhir dari 1000!

    Penyelesaian :

  • Angka satuan ysng menghasilkan angka nol adalah kelipatan 5 dikali kelipatan 2 yakni sebanyak .
  • Angka puluhan yang menghasilkan angka nol sebanyak .
  • Angka ratusan yang menghasilkan angka nol sebanyak

    Jadi banyak angka nol terakhir dari 1000! Adalah 200 + 40 + 8 + 1 = 249

  1. Tentukan dua angka terakhir dari bilangan 31234

    Penyelesaian :

    Dua angka terakhir 31234 = sisa pembagian 31234 o leh 100.

    31234 mod (100) º (35)206 mod (100)

    º (243)206 X 34 mod (100)

    º (43)2 X 103 X 81 mod (100)

    º (1849)103 X 81 mod (100)

    º (49)2 X 51 + 1 X 81 mod (100)

    º (2401)51 X 49 X 81 mod (100)

    º 151 X 3969 mod (100)

    º 69 mod (100)

    Jadi dua angka terakhir dari bilangan 31234 adalah 69.

  2. Tunjukkan bahwa 3105 + 4105 habis dibagi 7

    Penyelesaian :

    3105 + 4105 mod 97)    = 3105 + (7 – 3)105 mod (7)

    = 3105 + (-3)105 mod (7)

    = 0 mod (7)

    Kesimpulan : 3105 + 4105 habis dibagi 7

  3. Untuk n bilangan asali, buktikan bahwa n3 + 5n habis dibagi 6.

    Penyelesaian :

    n3 + 5n    = n3 – n + 6n

    = (n – 1)n (n + 1) + 6n

    Karena (n – 1)n (n + 1) merupakan tiga bilangan bulat yang berurutan, maka (n – 1)n (n – 1) habis dibagi 6. Dengan demikian n3 + 5n habis dibagi 6.

  4. Jika n > 4 merupakan bilangan komposit, maka tunjukkan bahwa n|(n – 1)

    Penyelesaian :

    Karena n bilangan komposit, maka trdapat bilangan bulat n1, n2 sehingga n = n1 n2 dan n1, n2 > 1. Jelas bahwa n1, n2 < n. Dua kasus yang mungkin adalah :

  • n1 = n2, maka kedua bilangan termasuk ke dalam perkalian

    (n – 1)! = 1, 2 … (n – 1)

    Akibatnya n|(n – 1)!

  • n1 = n2, maka n = n12. Karena n > 4 maka n1 > 2. Dengan demikian n = n12 = n1 n1 > 2n, hal ini mengakibatkan n1 dan 2n1 kurang dari n masuk ke dalam perkalian

    (n – 1) | = 1, 2 … (n – 1)

    Jadi : 2n12 | (n – 1)! Maka n|(n – 1)!

  1. Jika n bilangan bulat, tunjukkan bahwa n4 – 20n2 + 4 bukan bilangan prima.

    Penyelesaian :

    n4 – 20n2 + 4    = n4 – 4n2 + 4 – 16n2

    = (n2 – 2)2 – 16n2

    = (n2 – 2 – 4n)(n2 – 2 + 4n)

    Misalkan :     n2– 2 – 4n = 1

    n2 – 4n – 3 = 0

    n1 . 2 =

    Jika n bulat maka n2 – 2 – 4n = 1

    Dengan cara yang sama didapat bahwa n2 – 2 – 4n 1 dan n2 – 2 – 4n 1.

    Kesimpulan : jika n bulat maka n4 – 20n2 + 4 bukan bilangan prima.

  2. Jika p > 3 bilangan prima, tunjukkan bahwa 24|p2 – 1

    Penyelesaian :

    Karena p > 3 bilangan prima maka p – 1 dan p + 1 bilangan genap, yang satunya dapat dibagi 2 dan satunya lagi dapat dibagi 4; akibatnya 8|p2 – 1 ………………………………………………..    (1)

    Sekarang perhatikan bahwa salah satu dari bilangan p – 1, p, p + 1 dapat dibagi 3. Karena p prima yang lebih besar dari 3 maka 3 ł p; akibatnya 3|p2 – 1 ………………………………………    (2)

    Karena 3 dan 8 saling prima maka dari (1) dan (2) didapat 24|p2 – 1.

  3. Buktikan bahwa hanya ada satu nilai n yang membuat 28 + 211 + 2n kuadrat sempurna.

    Penyelesaian :

    Misalkan 28 + 211 + 2n = m2

    2n = m2 – 28 (1 + 23)

    = m2 – 28 . 9

    2n = (m – 48)(m + 48)

    Menurut teorema Faktorisasi Tunggal, maka ada bilangan bulat tidak negatif s dan t sehi8ngga ;

    M – 48 = 2s. m + 48 = 2t, s + t = n

    Jadi :

    2s + 48 = 2t – 48

    2t – 2s = 96 Þ 2s (2t – s – 1) = 25 X 3

    S = 5 dan r = 7

    maka n = s + t = 12

Like this:

Filed under: Olimpiade Matematika, soal olimpiade matematika Ditandai: | ,

PUISI CINTA

Tinggalkan komentar

Apabaila kita membicara Cinta memang tidak akan ada habisnya, karena Cinta ini mencakup banyak hal Seperti Cinta dengan Sang pencipta, Cinta Sesama manusia Maupun cinta dengan Alam sekitarnya.

 
Orang yang hidupnya penuh akan cinta memang sangat menyenangkan karena dengan Cinta ini kita bisa bahagia dan dengan cinta ini hidup kita terasa damai, baiklah dengan kita membicarakan cinta ini saya akan berbagi beberapa Puisi Cinta yang telah dikirimkan Oleh sahabat Loker Puisi ini sebagai apresiasinya terhadap Cinta dan merekan menuangkan dalam sebuah tulisan dengan syair sajak yang sangat indah yang biasa kita namakan dengan Puisi Cinta, Alangkah lebih baiknya sebelum anda membaca Puisi Cinta dibawah ini mungkin anda lebih baik sekalian Baca Puisi Persahabatan dan Puisi Romantis yang ada di Web Loker Puisi ini. Okelah mungkin sahabat loker puisi sudah tidak sabar untuk membaca Puisi Cinta dibawah ini dan Mungkin juga Puisi Cinta dibawah ini bisa menjadikan Inspirasi atau motivasi bagi anda yang baru mengenal yang namanya Cinta, Langsung saja kami ucapkan selamat menikmati Puisi Cinta yang Indah nan Elok dibawah ini.
 
Puisi Cinta
Kumpulan Puisi Cinta
 
 
BIDADARI TANPA SAYAP
Puisi Siti Halimah

Kelembutan hatinya membuatku terpana. . .
Melihat kehindahan Rembulan,
Sama seperti melihat keindahan wajahnya.

Sungguh kuat dia menghadapi ini semua. . .
Menghadapi keaadaannya yg begitu nyata.
Merasakan penderitaannya sendirian.
Dan mengukur penderitaan diatas mimpi . . .

Walau dia hanya Bidadari tanpa sayap,
Tapi kelembutan hatinyalah yang membuatku merasa seperti…..
Berada di atas awan.

DIRIMU YANG SATU
Puisi Dwi Melindawati

Andai kau tahu
Apa isi hatiku ini ?
Apa yang ku rasakan saat ini ?

Jika kau bisa merasakan
Ku mohon… balas rasa ini !
Ku mohon ungkapkan rasa yang ada di hati mu !

Andai kau  tahu…
Hanya dirimulah yang ada di hati..
Hanya nama mu yang terukir di jiwa ..
Hanya wajah mu yag ada di bayangan ku…

Dirimu yang satu …
Telah menebar cinta di hatiku
Telah membagi rasa indah di hati
Walau hanya aku yang merasakan

Cinta itu timbul …
Saat ku lihat dirimu
Dan tiba-tiba saja rasa itu timbul
Di hati ku…….karna hanya dirimu di hati …

 MELUKIS CINTA
Puisi Metana Azka

Dapatkah aku melukis cinta untukmu?
Mengguratkan sejuta warna
yang bisa membuatmu indah..

Dapatkah aku melukis cinta untukmu?
Seperti notasi mimpi kupu-kupu
bersayap biru,
Terbang bersama menuju negeri pelangi..

Dapatkah aku melukis cinta untukmu?
Mengisyaratkan lelahku di jalan resah!

(Jogja, 2008)

SELEMBAR PUISI UNTUK KEKASIH
Puisi Triana

Terpaku dalam kegundahan hati
Terasa tak dapat ku lawan dengan jari-jari
Tiada lagi tempat hari yang terasa ada
Hanya lelah
Lelah yang ku rasa……………

Andaikan waktu itu tak terjadi
Mungkin hatiku takan remuk seperti ini
Langkahku terhenti dalam kelamnya malam
Mataku terhalang jurang yang dalam
Pendengaranku sayup-sayup tak menentu
Hatiku terombang ambing dalam ombak kemarahan
Ragaku tak berkuasa untuk berfungsi
Mungkin tiada lagi yang dapat terjadi saat ini
Semangatku lemah hatiku susah
Teringat malam itu yang menyakitkan
Inikah kehidupan?

Kurasa semua bukan seperti ini
Mungkin masih ada titik terang
Yang akan menyinari kegelapan hati
Memberi pujian untuk diri sendiri
Meredamkan semua yang ada saat ini
Hingga aku dapat kembali ke kehidupan yang indah ini

AKU MOHON DENGAN SANGAT KEPADAMU
Oleh Siamsyu

Kembalilah wahai sayangku
Kembali padaku
Cintailah aku setulus hatimu
Karena aku tak bisa hidup tanpamu
Dan bila suatu saat nanti

Aku pergi
Bukan karena aku menyerah
Namun ku pergi karena waktu
Dan ruang yang memisahkan kita
Apabila itu terjadi
Maafkanlah bila aku
Tiada lagi disisimu

Karena kita terpisah ruang dan waktu
Bila saja waktu memihakku
Sejak dari awal sejal terakhir ku bertemu denganmu
Harusnya ku bilang sayang
Ku bilang cinta
Karena semua itu milikmu

Kemudian
Tetaplah jalani mimpimu
Meski saat itu nanti tak bersamaku
Karena bagiku
Bahagiamu damaikan hatiku. . .

RASA CINTAKU
Oleh Suci Novitasari

Kau tiba-tiba hadir dan isi hatiku yang kosong…
Hanya kau yang ada dipikiranku sekarang…
Aku tak tau bagaimana caramu mengisi hatiku…
Engkau sungguh membuatku tak mengerti…
Rasanya hatiku jadi tak menentu…
Untukku kau sangat berharga…
Lihatlah diriku ini yang berjuang untuk cintamu…

Aku sangat mencintaimu
Namun kau tak pernah sadari itu
Walau perih hati ini…
Aku disini kan selalu setia menantimu…
Rasakanlah cintaku ini begitu besar untukmu…

TERINGAT DIRIMU SELAMANYA
Oleh Eggady Peterson

Dalam luang waktu ku coba lupakan
Sejenak memendam kisah lama yang silam
Melihat pelangi yang kini t’lah kelam
Gelap gulita dan sunyi mencekam

Nampak hadirmu dalam ingatan
Terlihat jelas tapi menyakitkan
Walau terasa kau ku dambakan
Membuat aku dalam kesepian

Meski kau ku cinta tapi tak sebaliknya
Kau yang ku puja takkan terlupa
Seringkali kau nampak senangkan
Dan tak jarang kau juga menyakitkan

Kerinduan ini membuatku gila
Kehilangan dirimu sebuah luka
Berangan aku tuk selamanya
Hingga mati pun slalu bersama

Dan mungkin seandainya nanti
Mentari tak bersinar lagi
Kau tetap dan s’lalu disisi
Menemaniku dalam indahnya surgawi

 
Bagaimana dengan Puisi Cinta diatas, apakah Puisi Cinta diatas bisa menjadikan Motivasi ataupun Ispirasi anda untuk lebih baik lagi, Oh ya jangan Lupa untuk SHARE dan LIKE jika postingan Kumpulan Puisi Cinta diatas menarik bagi anda dan apabila anda mempunyai Sebuah  karya dalam bentuk Puisi, jangan segann segan untuk mengirimkannya.

TRIGONOMETRI

Tinggalkan komentar

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Daftar isi

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Konsep Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun.[1] Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan “penyebaran” dan “quadrance“, bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].

 

Hubungan fungsi trigonometri

TrigonometryTriangle.svg

Fungsi dasar:

\sin A = \frac{a}{c}\,
\cos A = \frac{b}{c}\,
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\ = \frac{a}{b}\,
\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}\ = \frac{b}{a}\,
\sec A = \frac{1}{\cos A}\ = \frac{c}{b}\,
\csc A = \frac{1}{\sin A}\ = \frac{c}{a}\,

Identitas trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,
1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A \,

Penjumlahan

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,
\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,
2 \sin A \times \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B),
2 \cos A \times \sin B = \sin (A + B) - \sin (A - B),
2 \cos A \times \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B),
2 \sin A \times \sin B = - \cos (A + B) + \cos (A - B),

Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,

Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,
\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,

Lihat pula

Search Wikiquote Wikiquote memiliki koleksi kutipan yang berkaitan dengan:

Search Wikimedia Commons Wikimedia Commons memiliki galeri mengenai:

Lihat pula

Referensi

  1. ^ Trigonometri zenius blog

Daftar pustaka

  • Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (ed. Second Edition). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
  • Templat:Springer
  • Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
  • Weisstein, Eric W. “Trigonometric Addition Formulas”. Wolfram MathWorld. Weiner.

GEOMETRI

Tinggalkan komentar

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Permukaan Calabi–Yau

Geometri (Yunani Kuno: γεωμετρία, geo-“bumi”,-metron “pengukuran”) adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran, posisi relatif tokoh, dan sifat ruang. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebut ahli ilmu ukur. Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai tubuh pengetahuan praktis tentang panjang, area, dan volume, dengan unsur-unsur dari ilmu matematika formal yang muncul di Barat sedini Thales (abad 6 SM). Pada abad ke-3 SM geometri dimasukkan ke dalam bentuk aksiomatik oleh Euclid, yang pengobatan-Euclidean geometri-menetapkan standar selama berabad-abad untuk mengikuti. [1] Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan volume, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern . Bidang astronomi, terutama memetakan posisi bintang dan planet pada falak dan menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit, menjabat sebagai sumber penting masalah geometrik selama satu berikutnya dan setengah milenium. Kedua geometri dan astronomi dianggap di dunia klasik untuk menjadi bagian dari Quadrivium tersebut, subset dari tujuh seni liberal dianggap penting untuk warga negara bebas untuk menguasai.

Pengenalan koordinat oleh René Descartes dan perkembangan bersamaan aljabar menandai tahap baru untuk geometri, karena tokoh geometris, seperti kurva pesawat, sekarang bisa diwakili analitis, yakni dengan fungsi dan persamaan. Hal ini memainkan peran penting dalam munculnya kalkulus di abad ke-17. Selanjutnya, teori perspektif menunjukkan bahwa ada lebih banyak geometri dari sekedar sifat metrik angka: perspektif adalah asal geometri proyektif. Subyek geometri selanjutnya diperkaya oleh studi struktur intrinsik benda geometris yang berasal dengan Euler dan Gauss dan menyebabkan penciptaan topologi dan geometri diferensial.

Dalam waktu Euclid tidak ada perbedaan yang jelas antara ruang fisik dan ruang geometris. Sejak penemuan abad ke-19 geometri non-Euclidean, konsep ruang telah mengalami transformasi radikal, dan muncul pertanyaan: mana ruang geometris paling sesuai dengan ruang fisik? Dengan meningkatnya matematika formal dalam abad ke-20, juga ‘ruang’ (dan ‘titik’, ‘line’, ‘pesawat’) kehilangan isi intuitif, jadi hari ini kita harus membedakan antara ruang fisik, ruang geometris (di mana ‘ ruang ‘,’ titik ‘dll masih memiliki arti intuitif mereka) dan ruang abstrak. Geometri kontemporer menganggap manifold, ruang yang jauh lebih abstrak dari ruang Euclidean akrab, yang mereka hanya sekitar menyerupai pada skala kecil. Ruang ini mungkin diberkahi dengan struktur tambahan, yang memungkinkan seseorang untuk berbicara tentang panjang. Geometri modern memiliki ikatan yang kuat dengan beberapa fisika, dicontohkan oleh hubungan antara geometri pseudo-Riemann dan relativitas umum. Salah satu teori fisika termuda, teori string, juga sangat geometris dalam rasa.

Sedangkan sifat visual geometri awalnya membuatnya lebih mudah diakses daripada bagian lain dari matematika, seperti aljabar atau teori bilangan, bahasa geometrik juga digunakan dalam konteks yang jauh dari tradisional, asal Euclidean nya (misalnya, dalam geometri fraktal dan geometri aljabar)

Geometri awal

Model empat padatan Platonik

Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang ruas-ruas garis, luas, dan volume.

Salah satu teori awal mengenai geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus {360SM) bahwa alam semesta terdiri dari 4 elemen: tanah, air, udara dan api. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma. Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus(hexahedron), octahedron, dan icosahedron dimana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen api, tanah, udara dan air. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic Solid. Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk menggambarkan elemen kelima yaitu ether.

METODE NUMERIK

Tinggalkan komentar

METODE NUMERIK: Pengertian dan Kegunaan Metode Numerik

Beberapa definisi metode numerik dikemukakan ahli matematika, misalnya metode numerik adalah teknik di mana metode numerik METODE NUMERIK: Pengertian dan Kegunaan Metode Numerikmasalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).

Di samping itu menurut Rochmad (2011) ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang dihadapinya.  Beberapa alasan tersebut sebagai berikut.

  1. Metode numerik merupakan suatu teknik untuk menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan komputer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan y ang luas, misalnya untuk memecahkan masalah solusi suatu persamaan tak linear, sistem persamaan yang besar, dan permasalahan lainnya termasuk dalam teknik dan sosial.  Masalah yang sering sulit atau bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan secara analitis dapat diselesaikan dengan metode numerik.
  2. Saat ini terdapat berbagai paket program komputer (misalnya exel, maple, matlab, atau program paket lainnya) yang tersedia dan diperdagangkan sehingga mudah didapat yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik. Dengan demikian, pemecah masalah tinggal menyesuaikan dengan karakteristik program paket tersebut dengan algortima yang digunakan dalam pemecahan masalah.
  3. Apabila masalah yang dihadapi sulit diselesaikan dengan bantuan program paket komputer, maka pemecah masalah dapat menggunakan program komputer (misalnya basic, pascal, fortran, atau  program komputer lainnya). Jika pemecah masalah mahir mendesain program sendiri, maka pemecah masalah dapat lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahka n masalah yang dihadapinya.
  4. Di sisi lain, metode numerik merupakan semacam sarana  yang efisien untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.

Kata kunci artikel ini:

metode numerik, pengertian metode numerik, metode numerik adalah, pengertian numerik, Numerik, Metoda numerik, materi metode numerik, matematika numerik, contoh metode numerik, pengertian analisa numerik, metode numeric, air stripping adalah, pengertian numeric, jenis metode numerik, Pengertian matematika numerik, Definisi metode numerik, apa itu metode numerik, materi analisis numerik, metode numberik, manfaat metode numerik

berry.gif

Tinggalkan komentar

logika matematika

Tinggalkan komentar

Logika matematika

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Hukum logika

  1. Hukum komutatif
    • p ∧ q ≡ q ∧ p
    • p ∨ q ≡ q ∨ p
  2. Hukum asosiatif
    • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
    • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
  3. Hukum distributif
    • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
    • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
  4. Hukum identitas
    • p ∧ B ≡ p
    • p ∨ S ≡ p
  5. Hukum ikatan
    • p ∧ S ≡ S
    • p ∨ B ≡ B
  6. Hukum negasi
    • p ∧ ~p ≡ B
    • p ∨ ~p ≡ S
  7. Hukum negasi ganda
    • ~(~p) ≡ p
  8. Hukum idempotent
    • p ∧ p ≡ p
    • p ∨ p ≡ p
  9. Hukum De Morgan
    • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
    • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
  10. Hukum penyerapan
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
  11. Negasi B dan S
    • ~B ≡ S
    • ~S ≡ B

Older Entries